Ilona Sābera – portfolio

blogging, journalism, semiotics, short stories

Fraktāļi – nākotnes ģeometrija?

Leave a comment

Publicēts žurnālā Terra

Mandel zoom 08 satellite antenna.jpg
Mandel zoom 08 satellite antenna“. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons.

“Kādēļ ģeometriju dēvē par vēsu un sausu? Viens no cēloņiem ir tās nespēja aprakstīt mākoņu, kalnu, koku un jūras formu. Mākoņi nav sfēras, kalni nav konusi, krasta līnijas nav riņķa līnijas loki, koka miza nav gluda, zibens neizplatās pa taisnu līniju. Daba ne tikai mums demonstrē augstāku sarežģītības pakāpi, bet pavisam citu tās līmeni.” Kopš 70. gadiem pazīstamā fraktāļu ģeometrijas pamatlicēja Benuā Mandelbrota teiciens rosina iztēli. Vai tiešām Eiklīda teorijai ir precīzāka un pilnīgāka alternatīva? Kāds ir fraktāļu ģeometrijas praktiskais lietojums mūsdienās?

Kāds ir fraktāļa skaidrojums?

Fraktālis populārzinātniskā skaidrojumā ir neregulāra, no fragmentiem sastāvoša forma, kas, dalīta sīkākās vienībās, ir veseluma kopija. Terminu izveidoja Benuā Mandelbrots 1975. gadā, ņemot pamatā latīņu vārdu fractus, kas nozīmē „salauzts”.

Fraktāļu īpašības:

1) saglabājas smalka struktūra patvaļīgi pieņemtos mazos mērogos;
2) pārāk neregulārs, lai būtu iespējams aprakstīt tradicionālās Eiklīda ģeometrijas valodā;
3) piemīt pašlīdzība (vismaz aptuvenā vai sholastiskā), skatoties it kā “iekšā” attēlā, palielinot un samazinot to, redzami vienādi elementil
4) piemīt Hausdorfa dimensija, kas ir lielāka nekā topoloģiskā dimensija (skat. zemāk skaidrojumu par dimensijām).

Serpinska paklājs ir viens no pirmajiem ģeometriskajiem fraktāļiem.

Serpinska paklājs ir viens no pirmajiem ģeometriskajiem fraktāļiem.

Fraktāļi tiek konstruēti daudzkārtējā atkārtošanās procesā ar formulas palīdzību vai ģeometriskā veidā. Tiem piemīt kopīgas īpašības, taču pastāv atšķirīgas veidošanas metodes. Matemātiski veidotie fraktāļi tiek saukti par modelējamiem, bet dabā pastāvošie – par dabiskajiem. Modelējamos fraktāļus iedala algebriskajos (iegūti kā algebrisku vienādojumu tiešs attēlojums plaknē), ģeometriskajos (iegūti ar lauztu līniju palīdzību katrā mērogā aizvietojot noteiktu posmu bezgalīgas atkārtošanās rezultātā), stohastiskie (iegūti izmantojot gadījuma skaitļu ģeneratorus), nelineārie pārveidojumi, atraktori (sarežģītākie no fraktāļiem, nosaka dinamiskas sistēmas uzvedību ilgākā laika intervālā un regulē tās attīstību deterministiskā haosa ietvaros).

Apskatīsim algebrisko fraktāļu saistību ar dabas fraktāļiem, mēģinot skaidrot vilinošo Mandelbrota ideju par mākoņu un kalnu precīzo mērīšanu. Vienkāršoti algebriskos fraktāļus var skaidrot kā funkcijas vizuālo attēlojumu, taču bieži reālo skaitļu vietā tiek lietota komplekso skaitļu kopa. Fraktāļi iegūti daudzkārtējā atkārtošanās procesā ar datora palīdzību izpildot iterācijas – atkārtotas instrukcijas noteiktu skaitu reižu līdz iegūts vēlamais rezultāts.

Iterāciju stadijas Alberta Dīrera pentagona paveidam.

Iterāciju stadijas Alberta Dīrera pentagona paveidam.

Tā kā dabā pastāv “cits sarežģītības pakāpes līmenis”, kuras skaidrošanai līdz šim pastāvošās teorijas var šķist primitīvas, fraktāļu ģeometrija līdz ar moderno haosa teoriju piedāvā deterministisko haosu – nenoteiktība un gadījums tiek ierobežots, taču vienlaicīgi pastāv arī nesakārtotība.

Fraktāļu pašlīdzības pakāpe fraktāļiem var būt dažāda:

1) stingrā pašlīdzība –ģeometriskie fraktāļi, samazinājumā tiek iegūta identiska forma (piem. Koha līkne, Serpinska paklājs u. c.);
2) daļējā pašlīdzība – algebriskie fraktāļi (piem. Mandelbrota kopa, Džūlija kopas), pētot dziļāk zīmējumā elements var atšķirties no sākotnējā;
3) statistiskā pašlīdzība – dabas fraktāļi, pastāv nenoteiktība.

 

Ko var izmērīt ar fraktāļa palīdzību?

Tātad atšķirību starp dabas un algebriskajiem fraktāļiem raksturo pašlīdzības pakāpe. Bet vai iespējams līdzīgās struktūras dēļ precīzākiem dabas formu aprēķiniem aizstāt Eiklīda ģeometriju ar sarežģītāko fraktāļu teoriju? Pirmās praktiskums redzams ikdienā veicamajos mērījumos. Taču dabā pastāv citādas likumsakarības. Fraktāļu teorija dod ieskatu sarežģītākā līmenī.

Ar fraktāļu ģeometrijas palīdzību mūsdienās tomēr mākoņi, upju baseini, koku zaru tīkls netiek “mērīti” Eiklīda izpratnē. Dabas formām ar fraktāļu ģeometrijas palīdzību tiek rēķināta dimensija, taču atšķirībā no Eiklīda ģeometrijā apskatāmajiem objektiem, tiem piemīt fraktālā (Hausdorfa) dimensija. Ikdienā biežāk lietotās topoloģiskās sistēmas ietvaros punktam dimensiju skaits ir 0, taisnei – 1, plaknei – 2, telpai – 3, savukārt fraktālā dimensija nav vesels skaitlis.Ir dažādas metodes, ar kuru palīdzību tiek aprēķināta fraktāļa dimensija, piemēram, lineālu, riņķu vai kastīšu skaitīšanas metodes. Pēdējā fraktāli pārklāj ar pēc iespējas mazāku skaitu kvadrātu ar noteiktu malas garumu un saskaita kvadrātus. Malas garumu samazina, pārklāj ar vēl mazākiem kvadrātiem, saskaita tos utt. Dimensija ir logaritmisks koeficients, kad objektu pārklājošo kvadrātu skaits palielinās, bet kvadrāta malas garums tiecas uz 0. Ar dažādām metodēm veicot aprēķinus vienam objektam rezultāti atšķiras.

Interesanti ir plaknes fraktāļu perimetra un laukuma aprēķini. Tā kā pašlīdzīgais fraktālis visu laiku atkārto pats sevi, rēķinot perimetru, lielums tiecas uz bezgalību. Turpretī laukums, ko tas ierobežo, ir galīgs. Tas skaidrojams ar dimensiju atšķirībām – laukums atrodas plaknē (2 dimensijas), bet perimetrs – līnija (1 dimensija)

Vai augšanas procesu varētu paredzēt?

'Visuma fabrika' mākslinieks Luis Pena. http://www.fractalarts.com/ASF/Guests.html

The Universe Factory by Luis Pena. http://www.fractalarts.com/ASF/Guests.html

Tā kā determinētie fraktāļi tiek modelēti ar matemātisku izteiksmju palīdzību, izpildot noteiktas darbības, rezultāts ir zināmā mērā prognozējams. Tomēr viens no pirmajiem fraktāļiem – Mandelbrota kopa – joprojām nav līdz galam izpētīta un uzskatāma par vienu no sarežģītākajiem matemātiskajiem objektiem. Rodas jautājums, vai dabas fraktāļiem būtu iespējams paredzēt nākotnes attīstību?

Jēdziens, kas ir matemātiski izveidots, ir tikai līdzīgs dabai. Dabas fraktāļiem nevar izveidot teorētiskas definīcijas. Dimensiju aprēķini jāveic ar aproksimācijas metodēm. To skaits norāda, ka objektam piemīt fraktālā struktūra. Dziļāk pētot dabas objektu, dimensijai būtu jābūt tādai pašai, ja tā atšķiras, var konstatēt novirzes attīstībā.

Dabas fraktāļiem piemīt statistiskā pašlīdzība un gadījuma raksturs, un uzbūvi precīzi nav iespējams noteikt. Tomēr pastāv kopīga metastruktūra, dzīvās dabas fraktāļiem ģenētiskā informācija nosaka sugu pamatiezīmes. Fraktāļus raksturo arī adaptivitātes pakāpe, kas ļoti izteikta dzīvajā dabā.

Fraktāļi un haosa teorija ir cieši saistīti ar nelinerāro sistēmu dinamiku. Tā ir mūsdienu zinātnes nozare, kas pēta, piemēram, tādus procesus, kuros nelielas izmaiņas sākuma nosacījumos var izraisīt milzīgas novirzes tālākās prognozēs. Sākotnēji determinēta sistēma var pāriet uz haotisku nelineāro procesu rezultātā, tomēr šis haoss ir noteikts jeb determinēts un gadījuma loma tajā ir ierobežota. Gan dzīvajā, gan nedzīvajā dabā bieži sastopamas šādas nelineāras sistēmas ar augstu sarežģītības pakāpi. To aprakstam izmanto fraktāļu ģeometriju. Tā kā dabas fraktāļiem attīstības procesu ietekmē daudzi ārēji faktori (piemēram, augam – temperatūras izmaiņas, vēja, mākoņu veidošanās, augsnes sastāvs), nav iespējams ar fraktāļu ģeometrijas palīdzību pilnībā paredzēt nākamo attīstības soli.

Kalna veidošanās formulu izrēķināt nav iespējams?

Lai gan Mandelbrots fraktāļu ģeometriju dēvēja par dabas ģeometriju, ar tās palīdzību līdz šim dzīvē nav iespējams, piemēram, zinot kalna parametrus, izveidot tā uzbūves formulu. Tomēr fraktāļu teorijai ir plašas iespējas datorgrafikā. Ilustrācijas ir pārsteidzoši līdzīgas dabas formām.

Fraktāļi tiek zīmēti, atkārtojot lielu iterāciju skaitu (vairāki tūkstoši, desmiti tūkstošu atkarībā no tā, cik precīzu attēlu vēlas ieraudzīt). Jo lielāks skaits iterāciju, jo drošāk var apgalvot, ka dotais sākotnējais punkts konverģē (t.i., iterācijas tiecas uz noteiktu vērtību) vai diveģē (t.i., iterācijas tiecas uz bezgalību vai oscilē – robeža neeksistē). Tas ir, tiek aprēķināta noteiktas funkcijas vērtība dotā punktā (piemēram, slavenā Mandelbrota kopa tiek veidota ar kompleksas funkcijas palīdzību), pēc tam tiek aprēķināta funkcijas vērtība punktā , tad vērtība punktā , utt. fiksēts skaits iterāciju reizes (katrā nākamajā iterācijā tiek izmantots iepriekšējais iznākums). Iterāciju rezultātā iegūtie punkti vai sākotnējie punkti (piemēram, Mandelbrota kopas gadījumā) tiek vizualizēti, izmantojot komplekso skaitļu kopu. Dators šādi pārlūko noteiktu kompleksās plaknes apgabalu.

Katra dotā punkta iterāciju uzvedība tiek klasificēta – tā var būt ierobežota vai neierobežota, tā var konverģēt (tuvināties galīgai robežai) vai diverģēt (tiekties uz bezgalību), iemēram, Mandelbrota kopas punktu iterācijas ir ierobežotas ar skaitli 2. Atkarībā no tā, cik ātri (punktam) notiek dilšana, augšana vai tuvināšanās robežai, punktu nokrāso citā krāsā. Veidojas līnijas, pa kurām punkti “uzvedas” līdzīgi – tiem piemīt ar konverģences vai diverģences īpašība. Tādējādi ar vienādas krāsas līniju un laukumu palīdzību iespējams veidot brīnišķīgus datorgrafikas darbus. Pie noteikta iterāciju skaita cilvēks vairs nespēj saskatīt atšķirības. Atklāts ir jautājums, cik iterāciju nepieciešams, lai cilvēkam liktos skaisti. Profesionāļi, kas veido fraktāļu darbus, sauc sevi par fraktāļu māksliniekiem, un arī šajā radošajā jomā tiek rīkotas izstādes un konkursi.

Kas ir skaists cilvēka acīm?

Jāsecina, ka ar fraktāļu ģeometriju nav iespējams aizvietot Eiklīda iedibināto kārtību. Taču fraktāļu jēdziens paver plašāku redzesloku, nojauc stingro nemainību un aizvieto to ar deterministisko haosu, kas dod iespēju mazliet tālāk pavirzīties uz zināmā un nezināmā robežas.

Fraktāļu teoriju izmanto gan haotisku procesu pilnīgākam aprakstam, gan jaunu objektu radīšanai. Fraktāļus mākslā izmantoja jau pirms tos pazina matemātikā, piemēram, Alberta Dīrera Pentagons. Pašlaik Džeksona Polloka it kā haotisko krāsu un līniju jaukumu panākumi tiek skaidroti ar deterministiskā haosa struktūru tajos. Iespējams, tieši tādēļ, ka fraktāļu ģeometrija ir tik līdzīga dabas struktūrai, tā izskatās pilnīga un skaista cilvēka acīm.

Paldies LU Fizikas un Matemātikaas fakultātes asociētajai profesorei Dr.math. Inesei Bulai par informāciju un skaidrojumiem

Papildus informācija:

Benoit Mandelbrot at TED: Fractals and the art of roughness.
Michael Frame at TEDxYale: Stories About Nature.
RTU Datorzinātnes un Informācijas tehnoloģijas fakultātes studentes Zanes Valaines bakalaura darbs e-apmācība par fraktāļiem.
Yale University mācību materāls par fraktāļiem angļu valodā.
Матвей Котов kodi fraktāļu zīmējumu programmēšanai.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s